テイラーの定理

主張

区間 $I$ 上の関数 $f$ が $C^{n + 1}$ 級で、 $a, x \in I$ とする。このとき、 $a$ と $x$ の間のある点 $ξ$ が存在して、

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}

が成り立つ。

$x = a$ の時は明らかなので、 $x \neq = a$ とするまず、 $P_{n} (t)$ を以下のようにおく。

P_{n} (t) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (t - a)^{k}

また、 $M$ を以下のように定める。ここで、 $a, x$ は固定されているので、 $M$ は $t$ に依存しない定数である。

M = \frac{f ( x ) - P _{n} ( x )}{( x - a ) ^{n + 1}}

さらに、 $φ (t)$ を以下にようにおく。

φ (t) = f (t) - P_{n} (t) - M (t - a)^{n + 1}

このとき、 $M$ の定め方より $φ (x) = 0$ である。また、 $P_{n}$ は $f$ の $a$ における $n$ 次までの導関数を一致させるように作られているので、

φ (a) = φ^{'} (a) = \dots = φ^{(n)} (a) = 0

である。したがって、ロルの定理を繰り返し用いると、 $a$ と $x$ の間のある点 $ξ$ が存在して、

φ^{(n + 1)} (ξ) = 0

となる。一方、

φ^{(n + 1)} (t) = f^{(n + 1)} (t) - (n + 1)! M

なので、 $f^{(n + 1)} (ξ) - (n + 1)! M = 0$ 。すなわち、 $M = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!}$ である。よって、 $M$ の定義から、

f (x) - P_{n} (x) = M (x - a)^{n + 1} = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}

となる。したがって、

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}