体

$K$ が体であるとは、 $K$ に加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が定義されていて、次の条件が満たされていることである。

$K$ の任意の元 $a, b, c$ に対し、 $(a + b) + c = a + (b + c)$ が成り立つ（加法に関する結合則）
$K$ の元 $0$ で、 $K$ の任意の元 $a$ に対し、 $a + 0 = 0 + a = a$ を満たすものがただ1つある
$K$ の任意の元 $a$ に対し、 $a + b = b + a = 0$ を満たす $K$ の元 $b$ がただ1つある
$K$ の任意の元 $a, b$ に対し、 $a + b = b + a$ が成り立つ（加法に関する交換則）
$K$ の任意の元 $a, b, c$ に対し、 $(ab) c = a (b c)$ が成り立つ（乗法に関する結合則）
$K$ の $0$ でない元 $1$ で、 $K$ の任意の元 $a$ に対し、 $a 1 = 1 a = a$ を満たすものがただ1つある
$K$ の $0$ でない任意の元 $a$ に対し、 $ab = ba = 1$ を満たす $K$ の元 $b$ がただ1つある
$K$ の任意の元 $a, b$ に対し、 $ab = ba$ が成り立つ（乗法に関する交換則）
$K$ の任意の元 $a, b, c$ に対し、 $(a + b) c = a c + b c, a (b + c) = ab + a c$ が成り立つ（分配則）

この9つの条件を体の公理と呼ぶ。

参考文献